شاید در متون ریاضی به نام‌هایی چون «چهارضلعی خیام-ساکری»، «مثلث خیام-پاسکال» و «دو جمله‌ای خیام-نیوتن» برخورد کرده باشید و شاید این سؤال به ذهنتان خطور کرده باشد که به چه دلیلی نام خیام در کنار ریاضیدانان و دانشمندانی که چندین قرن پس از او می‌زیسته‌اند؛ قرار گرفته است؟ و شاید به درستی حدس زده‌اید که خیام حتماً سهمی در دستاوردهای این دانشمندان داشته است. به مناسب ۲۸ اردیبهشت، روز بزرگداشت حکیم عمر خیام، به‌دستاوردهای این نابغۀ پیشگام در ریاضیات پرداختم.
ظهور نابغه‌ای از شرق
غیاث‌الدین ابوالفتح عُمَر بن ابراهیم خَیّام نیشابوری در حدود سال ۴۲۷ شمسی در نیشابور به دنیا آمده و در ۵۱۰ شمسی در زادگاه خود درگذشته است. در نزد امام موفق شیرازی، از علما و دانشمندان مشهور آن زمان در نیشابور، فقه و تفسیر و فلسفه و ستاره‌شناسی آموخت. خیام خود را از شاگردان ابن‌سینا دانسته است اما با توجه به اینکه بوعلی چندین سال قبل از تولد او فوت کرده بود به نظر می‌رسد که این سخن به دل‌بستگی خیام به افکار ابن‌سینا اشاره داشته باشد. ازاین‌رو او را از لحاظ فلسفی پیرو فلسفه مشائی ابن‌سینا می‌دانند. خیام در علوم زمانه خود به استادی رسید و چنانکه خواهیم دید در برخی مباحث ریاضی از زمانۀ خود قرن‌ها پیش افتاد.
رساله خیام در شرح مشکلات کتاب اصول اقلیدس
بااینکه در رساله‌های به‌جای مانده از خیام آثاری در فلسفه، نظریۀ ریاضی موسیقی، مکانیک و تعیین وزن مخصوص اجسام و هواشناسی دیده می‌شود اما آنچه او را در تاریخ علم برجسته می‌سازد تحقیقات او در هندسه اقلیدسی و ابداعاتش در حل معادلات درجه سوم است.
خیام در رسالۀ «فی شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس» (در شرح مشکلات کتاب اصول اقلیدس) به بررسی اصول هندسه اقلیدسی پرداخت. نسخه دست‌نویس این کتاب در کتابخانه برلین نگهداری می‌شود و تاریخ آن اواخر جمادی‌الاول سال ۴۷۰ هجری قمری ذکر شده است. اقلیدس که سعی کرد ضمن جمع‌آوری قضایای هندسی موجود به اثبات برهانی آنها بپردازد، با چهار اصل اولی که فرض کرد توانست ۲۸ قضیه هندسی را اثبات کند اما برای اثبات قضایای بیشتر مجبور شد اصل پنجمی را نیز اضافه کند.
تشکیک خیام در اصل توازی اقلیدس
چند مسئله باعث شد که پذیرش اصل پنجم یا اصل توازی برای ریاضیدانان بعدی دشوار باشد:
- یکی اینکه این اصل بداهت و ایجاز چهار اصل اول را نداشت.
- دوم اینکه این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا یک اصل موضوعه.
- سوم اینکه اقلیدس پس از اثبات ۲۸ قضیه با چهار اصل اول و ناکامی در اثبات قضایای بیشتر با آن اصول و ۲۸ قضیۀ اثبات‌شده، ناگزیر به افزودن اصل پنجم شد.
پس از اقلیدس ریاضیدانان بسیاری سعی کردند این اصل آزاردهنده را با استفاده از چهار اصل اول به اثبات برسانند. خیام در رسالۀ «در شرح مشکلات کتاب اصول اقلیدس» سعی کرد اصل توازی را اثبات کند. روشی که خیام برای این منظور به‌کار گرفت ۷۰۰ سال بعد مورد توجه ریاضیدانان اروپایی قرار گرفت.
اصول موضوعه هندسه اقلیدسی
اصول موضوعه فرضیاتی هستند که بدیهی شمرده‌شده و پذیرفته می‌شوند و مبنای اثبات قضایا قرار می‌گیرند. اصول موضوعه هندسه اقلیدسی شامل پنج اصل زیر است:
اصل اول: از هر دو نقطه فقط یک پاره خط مستقیم می‌گذرد.
اصل دوم: هر پاره خط را می‌توان در امتداد آن به طور نامحدود ادامه داد.
اصل سوم: برای هر پاره خط دلخواه می‌توان دایره‌ای به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم کرد.
اصل چهارم: همۀ زوایای قائمه بر هم منطبق می‌شوند.
اصل پنجم (اصل توازی): از یک نقطه در خارج یک خط، یک خط و فقط یک خط می‌توان به‌موازات خط مفروض رسم کرد.
چهارضلعی خیام-ساکری و پیدایش هندسه‌های نااقلیدسی
خیام برای اثبات اصل توازی چهارضلعی ABCD را فرض کرد که AD و BC دو پاره خط مساوی و هر دو بر AB عمود هستند. خیام می‌نویسد که: «برای اثبات اینکه اصل توازی از سایر اصول اقلیدس نتیجه می‌شود کافی است ثابت گردد که زوایای داخلی C و D هر دو قائمه هستند».
چهارضلعی خیام-ساکری
البته خیام مثل تمام ریاضیدانان بعدی در این کار ناکام ماند اما این ناکامی‌ها در نهایت در قرن نوزدهم به تحولاتی بنیانی در هندسه منجر شد. بعدها خواجه‌نصیرالدین طوسی به بررسی نظریه خیام پرداخت و در قرن هجدهم جیووانی ساکری، ریاضیدان ایتالیایی، در کتابش با عنوان «اقلیدس عاری از تناقض» سعی کرد با طرح یک چهارضلعی، شبیه آنچه خیام فرض کرده بود، از طریق برهان خلف اصل پنجم را از چهار اصل قبلی نتیجه بگیرد.
تمام سعی خیام، طوسی و ساکری این بود که اثبات کنند که زوایای C و D نمی‌توانند جز قائمه باشند و بنابراین سعی کردند فرض حاده یا منفرجه بودن آنها را رد کنند. در صورتی که با فرض اول به هندسه هذلولوی (هندسه لباچفسکی) و با فرض دوم به هندسۀ بیضوی (هندسه ریمانی) می‌رسیدند. در قرن نوزدهم برخی ریاضیدانان تلاش کردند خلاف اصل پنجم را فرض کنند تا ببینند که آیا به تناقض می‌رسند یا نه. وقتی هیچ تناقضی در هندسه‌های دارای اصل پنجم متفاوت، مشاهده نشد آنها را هندسه‌های نااقلیدسی نامیدند.
ابداع روش هندسی برای حل معادلات درجه سوم
بااینکه حل برخی معادلات خطی قدمتی بیش از ۳۰۰۰ سال دارد و به مصر و بابل آن عصر برمی‌گردد و بعدها در هند و یونان نیز پیشرفت‌هایی در آن زمینه حاصل شد اما این کتاب «جبر و مقابله» خوارزمی در قرن نهم میلادی بود که آن را به شکل یک علم سامان‌بخشید و مدون کرد. که کلمه جبر (Algebra) نیز توسط اروپائیان از نام همین کتاب برای نامگذاری این علم جدید اخذ شد. خوارزمی ضمن بررسی معادلات درجه اول و درجه دوم زمان خود به اثبات هندسی آنها نیز پرداخت. اما دو قرن پس از آن، کار بزرگ بعدی در جبر را خیام در کتابی با همان عنوان «جبر و مقابله» به انجام رساند. چنانکه جرج سارتن، مورخ معروف علم، در کتابش با عنوان «مقدمه‌ای بر تاریخ علم» نوشته «خیام نخستین کسی است که به تحقیق منظم علمی در معادلات درجه اول، دوم و سوم پرداخته و طبقه‌بندی تحسین‌برانگیزی از این معادلات ارائه کرده است.» از نظر سارتن رسالۀ «جبر و مقابله» خیام که شامل این تحقیقات است «یکی از برجسته‌ترین آثار ریاضی قرون وسطایی و احتمالا برجسته‌ترین آنها است.» استفاده خیام از مقاطع مخروطی برای حل معادلات درجه سوم او را به پیشگام تحولات بعدی در این زمینه بدل کرد.
پیشگامی خیام در پیشرفت جبر و هندسه
اهمیت کار خیام وقتی مشخص می‌شود که به این واقعیت توجه کنیم که در زمان او عددنویسی به‌صورت امروزی و تشکیل معادلات جبری با علائم و نمادهای ریاضی وجود نداشته است. ازاین‌رو به نحوی می‌توان وی را پیشگام هندسه تحلیلی و تحقیقات ریاضی دانشمندانی چون دکارت، پاسکال و نیوتن به حساب آورد. شاید به دلیل این تأثیرگذاری بنیانی در تاریخ علم است که جرج سارتن نیمه دوم قرن یازدهم میلادی را «عصر خیام» نامیده است.
بااین‌حال در اینکه آیا ریاضیدانان اروپایی مستقیماً از روش هندسی خیام برای حل معادلات هندسی تأثیر پذیرفته‌اند یا نه، اختلاف‌نظر وجود دارد. اما در این واقعیت که خیام پیشگام مباحثی بوده که چندین قرن پس از او امثال ساکری، لباچفسکی، دکارت، پاسکال و نیوتن به آنها پرداخته‌اند، به استناد رساله‌های «در شرح مشکلات کتاب اصول اقلیدس» و «جبر و مقابله» تردیدی وجود ندارد.
دو جمله‌ای خیام-نیوتن و مثلت خیام-پاسکال
آنچه امروزه مثلث خیام-پاسکال خوانده می‌شود یکی از زیباترین آرایه‌های ریاضی است که در تاریخ ریاضیات مورد توجه ریاضیدانان قرار گرفته است. خیام روشی جبری برای به‌دست آوردن ضرایب دو جمله‌ای که امروزه به دو جمله‌ای خیام-نیوتن معروف است، کشف کرد. کتاب «مشکلات حساب» که شامل اثبات روش خیام بوده تاکنون کشف نشده است اما در آثار خواجه نصیر طوسی که متأثر از روش خیام بوده، ضرایب تا توان ۱۲ محاسبه شده است.
دو جمله‌ای خیام-نیوتن
در قرن هفدهم بلز پاسکال، ریاضیدان فرانسوی، که معاصر نیوتن بود، روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد. به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دو جمله‌ایِ خیام-نیوتن، مثلث خیام-پاسکال گفته می‌شود. در مثلث خیام-پاسکال اعداد هر سطر مثلث، ضرایب بسط دو جمله‌ای خیام-نیوتن هستند. در مثلث خیام-پاسکال هر عدد از مجموع دو عدد بالای خود به‌دست می‌آید و مجموع اعداد هر سطر برابر توان‌های صفر تا n عدد ۲ است.
مثلث خیام-پاسکال
اصلاح تقویم ایرانی
زمانی که سمرقند توسط ملکشاه سلجوقی فتح شد، خیام به‌عنوان یکی از منجمان بزرگ آن عصر توسط وزیر ملکشاه، خواجه نظام‌المک، برای اصلاح تقویم رایج فراخوانده شد. در گاه‌شماری رایج که گاه‌شماری یزدگردی بود عدم توجه به کبیسه‌گیری باعث شده بود که در طول سال‌ها اعتدال بهاری (نوروز) به‌جای اول فروردین با نوزدهم فروردین منطبق شود. همچنین با ورود اسلام به ایران، تقویم هجری قمری رایج شد که زمان‌بندی گرفتن مالیات از کشاورزان را با مشکل مواجه می‌ساخت. به این دلیل ملکشاه تصمیم گرفت که با تغییر تقویم به شمسی، تاریخ وصول مالیات را یکنواخت کند. خیام در رأس گروهی از منجمان و ریاضیدانان بزرگ دیگر، در رصدخانه اصفهان به رصد و محاسبات نجومی پرداخت که حاصل آن تقویم امروزی جلالی بود که یکی از دقیق‌ترین گاه‌شمارهای جهان به شما می‌رود.
خیام شاعر
دنیای امروز، او را بیشتر به خاطر رباعیاتش می‌شناسد. خیام شاعر یک قرن پس از مرگ او کشف شد. برخی محققان بر این باورند که گویا تنگ‌نظری‌های زمانه اجازه نمی‌داد که این روح آزاده، رباعیات سرشار از اندیشه و پرسشگری را در زمان حیات خود، منتشر کند. دورانی که در آن می‌زیسته برای اذهان آزاده و پرسشگر دوران صعب و دشواری بوده است. زمانه‌ای که در آن فیلسوفان به زندقه، کفر و نامسلمانی متهم می‌شدند. این شرایط می‌توانست دلیلی باشد که او اشعارش را که تمام جزم‌ها و تعصبات را به پرسش می‌کشید، به‌عنوان جنبۀ خصوصی تفکر خود، پنهان و پوشیده نگاه دارد. خیام برای بیان عصارۀ تأملات خود قالب شعری رباعی را برگزیده است و امروزه رباعی با نام او عجین شده و وی آن را به اوج خود رسانده است.
چند رباعی خیامی
ابر آمد و باز بر سر سبزه گریست
بی بادهٔ گلرنگ نمی‌باید زیست
این سبزه که امروز تماشاگه ماست
تا سبزهٔ خاک ما تماشاگه کیست
***
این کوزه چو من عاشق زاری بوده است
در بند سر زلف نگاری بوده‌ست
این دسته که بر گردن او می‌بینی
دستی‌ست که برگردن یاری بوده‌ست
***
گویند بهشت و حورعین خواهد بود
آنجا می و شیر و انگبین خواهد بود
گر ما می و معشوق گزیدیم چه باک
چون عاقبت کار چنین خواهد بود
***
چون نیست ز هر چه هست جز باد به دست
چون هست به هر چه هست نقصان و شکست
انگار که هر چه هست در عالم نیست
پندار که هر چه نیست در عالم هست
***
در دایره‌ای که آمد و رفتن ماست
او را نه بدایت نه نهایت پیداست
کس می‌نزند دمی در این معنی راست
کاین آمدن از کجا و رفتن به کجاست*
رباعی من در مدح خیام
برای اولین بار در حدود پانزده سالگی‌ام بود که رباعیات را خواندم، از کتاب کوچک «رباعیات خیام» (تصحیح محمد بهشتی، انتشارات فؤاد، ۱۳۶۷، تیراژ: ۱۳۰۰۰ جلد!) که در کتابخانه برادرم پیدا کردم. کتابی که از آن زمان همیشه با من بوده است. پس از اولین مواجهه با این رباعیات آنچنان تحت تاثیر قرار گرفتم که در آن حال و هوای نوجوانی رباعی‌گونه‌ای را در ستایش او سرودم که چنین بود:
به خیام:
ای گوهرْ سخن، ای باده به دست نیشابوری
که هماره ز می و مستی و کاسۀ بشکسته سرودی
عابد و زاهد هر چه گویند، به یک جرعه نیرزد
مدحت بسرایم که تنها زاهد می‌پرست وجودی
